Eşdeğer denklemler aynı çözümlere sahip denklem sistemleridir. Eşdeğer denklemleri tanımlamak ve çözmek sadece cebir sınıfında değil, aynı zamanda günlük hayatta da değerli bir beceridir. Eşdeğer denklemlerin örneklerine, bunların bir veya daha fazla değişkene nasıl çözüleceğine ve bu beceriyi bir sınıf dışında nasıl kullanabileceğine bakın.
Tek Değişkenli Lineer Denklemler
Eşit denklemlerin en basit örnekleri herhangi bir değişkene sahip değildir.
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
5 + 0 = 5
Bu denklemleri tanımak, eşdeğerdir, ancak özellikle yararlı değildir. Genellikle denk bir denklem problemi, bir değişken için başka bir denklemdeki ile aynı (aynı kök ) olup olmadığını görmenizi ister.
Örneğin, aşağıdaki denklemler eşdeğerdir:
x = 5
-2x = -10
Her iki durumda da, x = 5. Bunu nasıl biliyoruz? Bunu “-2x = -10” denklemi için nasıl çözersiniz? İlk adım, denk denklemlerin kurallarını bilmek:
- Bir denklemin her iki tarafına aynı sayı veya ifadeyi eklemek veya çıkarmak, eşdeğer bir denklem üretir.
- Bir denklemin her iki tarafını aynı sıfır olmayan sayılarla çarparak veya bölerek denk bir denklem üretir.
- Denklemin her iki tarafını aynı tek güce yükseltmek veya aynı garip kökü almak eşdeğer bir denklem üretecektir.
- Bir denklemin her iki tarafı negatif değilse, bir denklemin her iki tarafını aynı eşit güce yükselterek veya aynı eşit kökle alarak eşdeğer bir denklem verecektir.
Örnek
Bu kuralları uygulamaya koymak, bu iki denklemin eşdeğer olup olmadığını belirlemek:
x + 2 = 7
2x + 1 = 11
Bunu çözmek için, her denklem için “x” bulmanız gerekir . Her iki denklem için de “x” aynı ise, o zaman eşdeğerdirler. Eğer “x” farklıysa (yani, denklemler farklı köklere sahipse), denklemler eşdeğer değildir.
x + 2 – 2 = 7 – 2 (her iki tarafın aynı sayıya göre çıkarılması)
x = 5
İkinci denklem için:
2x + 1 = 11
2x + 1 – 1 = 11 – 1 (her iki tarafın aynı sayıya göre çıkarılması)
2x = 10
2x / 2 = 10/2 (denklemin her iki tarafını aynı sayıya bölerek)
x = 5
Evet, iki denklem eşdeğerdir, çünkü her durumda x = 5.
Pratik Eşdeğer Denklemler
Günlük hayatta denk denklemler kullanabilirsiniz. Alışveriş yaparken özellikle yararlıdır. Örneğin, belli bir gömleği beğendin. Bir şirket 6’lık gömlek sunuyor ve 12′ lik nakliye yapıyor, başka bir şirket ise 7,50’lik gömlek sunuyor ve 9′ luk nakliye var. Hangi gömlek en iyi fiyata sahip? Her iki şirket için de fiyatın aynı olması için kaç tane gömlek (belki de onları arkadaşlarına almak istersiniz)?
Bu sorunu çözmek için, gömleklerin sayısı “x” olsun. Başlamak için, bir gömlek satın almak için x = 1 ayarlayın.
1 numaralı şirket için:
Fiyat = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 lira
2 numaralı şirket için:
Fiyat = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,5 lira
Yani, bir gömlek satın alırsanız, ikinci şirket daha iyi bir anlaşma sunar.
Fiyatların eşit olduğu noktayı bulmak için, “x” nin gömlek sayısı kalmasına izin verin, ancak iki denklemi birbirine eşit olarak ayarlayın. Kaç tane gömlek satın almanız gerektiğini bulmak için “x” için çözün:
6x + 12 = 7,5x + 9
6x – 7,5x = 9 – 12 ( her bir taraftan aynı sayı veya ifadeyi çıkararak )
-1,5x = -3
1.5x = 3 (her iki tarafın aynı sayıya bölünmesiyle, -1)
x = 3 / 1.5 (her iki tarafın 1,5’e bölünmesi)
x = 2
İki gömlek alırsanız, fiyatı nereden alırsanız alın, aynıdır. Aynı matematiği, hangi şirketin daha büyük siparişlerle daha iyi bir anlaşma sağladığını belirlemek ve aynı zamanda bir şirketi diğerinden nasıl tasarruf edeceğinizi hesaplamak için de kullanabilirsiniz. Gördün mü, cebir yararlıdır!
İki Değişkenli Eşdeğer Denklemler
İki denkleminiz ve iki bilinmeyeniniz varsa (x ve y), iki set doğrusal denklemin eşdeğer olup olmadığını belirleyebilirsiniz.
Örneğin, denklemleri verdiyseniz:
-3x + 12y = 15
7x – 10y = -2
Aşağıdaki sistemin eşdeğer olup olmadığını belirleyebilirsiniz:
-x + 4y = 5
7x -10y = -2
Için bu sorunu çözmek , denklem her sistem için “x” ve “y” bulmak.
Değerler aynı ise, denklem sistemleri denktir.
İlk setle başlayın. İki denklemi iki değişkenle çözmek için , bir değişkeni izole edin ve çözümünü diğer denklemlere takın:
-3x + 12y = 15
-3x = 15 – 12y
x = – (15 – 12y) / 3 = -5 + 4y (ikinci denklemde “x” için takın)
7x – 10y = -2
7 (-5 + 4y) – 10y = -2
-35 + 28y – 10y = -2
18y = 33
y = 33/18 = 11/6
Şimdi, “x” yi, “x” için çözmek için denklemin içine geri takın:
7x – 10y = -2
7x = -2 + 10 (11/6)
Bununla çalışarak sonunda x = 7/3 elde edersiniz
Soruyu cevaplamak için, olabilir evet bulmak için “x” ve “y” için çözmek için denklem ikinci setine aynı ilkeleri uygulamak, bunlar aslında eşdeğerdir. Cebir içinde bataklık yapmak çok kolay, bu yüzden işinizi bir çevrimiçi denklem çözücü kullanarak kontrol etmek iyi bir fikir .
Ancak, zeki öğrenci, iki denklem kümesinin, herhangi bir zor hesaplama yapmadaneşdeğer olduğunu fark edecektir ! Her kümedeki ilk denklem arasındaki tek fark, ilki ikincisinin üç katı (eşdeğer) olmasıdır. İkinci denklem tamamen aynıdır.
Anahtar noktaları
- Eşdeğer denklemler, özdeş çözümler veya kökleri olan cebirsel denklemlerdir.
- Bir denklemin her iki tarafına aynı sayı veya ifadeyi eklemek veya çıkarmak, eşdeğer bir denklem üretir.
- Bir denklemin her iki tarafını aynı sıfır olmayan sayılarla çarparak veya bölerek denk bir denklem üretir.